为什么没有最小公约数和最大公倍数

在数学里我们曾学过最大公约数以及最小公倍数。或许你会提出问题，为什么公约数要讲最大，但公倍数却又讲最小呢?是否有最小公约数和最大公倍数呢?假如有的话，为什么不讲呢?

我们首先从一个具体情况来看：

例如有正整数16和24，它们有很多公约数，就是：1、2、4、8，它们的最大公约数是8，最小公约数是1。

再看正整数15和56，它们都只有一个公约数，就是1。我们从这里能看出，任何两个正整数，总会有公约数1，且1总是它们的最小公约数(公约数总是只讲整数的)。两个或两个以上的数，它们的最小公约数既然总是1，就不必讨论了。这也就是我们不谈最小公约数的道理。但这并不是主要的道理。主要的道理在哪里呢?

我们学习数学，主要的目的是，必须要数学知识为我们服务，而不只是拿数学知识做游戏。两个正整数的最大公约数，在分数约分里是用得到的。通过约去分子分母的最大公约数，我们就能把一个分数化成最简分数。这样就相当简单了。而最小公约数1，却没有什么用处。这就是我们不研究最小公约数的原因。

那么，两个正整数是否有最大公倍数呢?例如有两个正整数16和24，它们的最小公倍数是48。显然48乘上任何整数之后依然就是16和24的公倍数。

例如48×2＝96，48×3＝144，48×4＝192，48×1000＝48 000等都是16和24的公倍数。由于自然数没有最大的数，因此也就没有最大的公倍数。

实际上，在分数通分的时候，也只须用到最小公倍数。假如用较大的公倍数，还不方便。既然没有最大公倍数，也不需任何较大的公倍数，这就是我们只研究最小公倍数的原因。